エックスサーバーVPS上のUbuntuにMySQLをインストールする手順は以下の通りです。
またリモートから接続できる状態まで解説します。

エックスサーバーVPSのコンソールを開きます。
ユーザー名とパスワードを入力します。

システムのパッケージを更新

まず、システムのパッケージリストを更新します。
これにより、最新のソフトウェアリストを取得できます。

MySQLをインストール

次に、MySQLサーバーをインストールします。

これでMySQLサーバーがインストールされます。

MySQLのセキュリティ設定

インストール後、MySQLのセキュリティを強化するためのスクリプトを実行します。

このコマンドを実行すると、以下のような質問が表示されます。推奨される設定を行うには、次の手順に従ってください：

• VALIDATE PASSWORD PLUGIN: パスワードの強度を設定するかどうか聞かれます。強いパスワードを求めるなら「Yes」を選びますが、必要に応じて「No」でも構いません。
• Remove anonymous users: 匿名ユーザーを削除するかどうか。セキュリティのために「Yes」とします。
• Disallow root login remotely: リモートからのrootログインを無効にするかどうか。「Yes」を推奨します。
• Remove test database and access to it: テストデータベースを削除するか。「Yes」を推奨します。
• Reload privilege tables now: 権限テーブルをリロードするかどうか。「Yes」を選びます。

MySQLの起動状態確認と自動起動の有効化

MySQLが正しくインストールされ、起動しているかを確認します。

MySQLが「active (running)」と表示されていれば正常に稼働しています。

また、VPS再起動時にMySQLも自動で起動するようにします。

MySQLへのログインと設定

MySQLのrootユーザーでログインします。

次に、MySQLのrootユーザーにパスワードを設定します（この操作はmysql_secure_installationで済んでいる場合はスキップできます）。

必要なポートの開放（リモート接続用）

デフォルトではMySQLはリモート接続を許可していないため、リモートからアクセスする場合は、以下の設定を追加します。

MySQLの設定ファイル編集

/etc/mysql/mysql.conf.d/mysqld.cnfを編集し、bind-addressの行を確認します。

bind-addressがデフォルトでは127.0.0.1に設定されています。リモートからの接続を許可するには、bind-addressを次のように変更します。

ファイルを保存して閉じたら、MySQLを再起動します。

Firewallの設定（必要な場合）

UbuntuのFirewallを使用している場合、MySQLのポート（デフォルトは3306）を開放します。

MySQLにリモート接続するユーザーの作成

リモート接続用のユーザーを作成し、特定のホストからのアクセスを許可します。

ポート3306の解放

MySQLはデフォルトのポートは3306です。
VPSパネルの「パケットフィルター設定」にて3306を許可します。

これで、リモートからもMySQLにアクセスできるようになります。